해수의 정 역학적 평형

정 역학적 평형은 대기나 해양의 움직임을 다루는데 있어 모두 굉장히 중요한 내용입니다. 또한 천체 단원에서도 주계열성의 평형 상태를 다루는데도 이용됩니다. 대기 단원에서도 다루지만, 해양 카테고리에서 다루어 보도록 하겠습니다.

정 역학적 평형이란, 중력과 수압경도력(또는 기압경도력)이 평형을 이루어, 물이나 공기가 연직 방향으로는 움직이지 않는 상태를 의미합니다.

위 그림과 같은 상황입니다. 대기도 그렇고 해양도 마찬가지인데, 대기의 경우 고도가 높을 수록 기압이 감소, 기압경도력이 연직 위 방향으로 작용합니다. 해양도 마찬가지입니다. 깊은 곳보다 얕은 곳에서 수압이 작고, 수압 경도력은 당연히 위쪽 방향으로 작용합니다. 그렇다면 이들은 모두 연직 위 방향으로 상승하는 움직임이 나타나야 하는데, 실제로는 그렇지 않습니다. 그건 기압경도력이나 수압경도력의 반대방향으로 중력이 작용하는데, 이 기압경도력 또는 수압경도력과 중력이 딱 평형을 이루어 연직방향으로는 흐름이 거의 없는 상태가 됩니다. 이 상태를 정 역학적 평형 상태라고 합니다.

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위 그림을 이용해 정 역학적 평형 관계를 유도해 보겠습니다. 정 역학적 평형이란 아래 방향의 중력과 위 방향의 기압경도력이 평형을 이루는 상태라 하였습니다. 여기서 압력 이라는 놈은 단위면적에 작용하는 힘이니까, 힘과는 아래의 관계에 있습니다.

기압 경도력이 생기는건 P1과 P2 지점의 기압차이 때문에 생깁니다. 따라서 기압경도력은

와 같이 놓을 수 있습니다.
중력은 단순히 mg이기 때문에 위의 기압경도력과 중력은

의 관계에 있습니다. 여기서 질량을 밀도로 바꾸어 주겠습니다. 밀도는 질량/부피인데, 저기서 저 네모 상자의 부피는 단위면적 A 곱하기 z 변화량이 됩니다. 따라서 아래와 같이 바꾸어 줄 수 있습니다.

자 이제 마지막으로 이 식을 미분형태로 표현

이렇게 됩니다.

여기서 - 부호에 주목해야 하는데 고도가 상승하는 방향, 그러니까 z가 증가하는 방향으로는 압력 P가 감소합니다. 때문에 -를 붙이게 됩니다. 때문에 반대로 저녀석을 적분하게 되면, 자연스럽게 - 부호가 사라집니다.

예를들어 z=0 고도에서 기압이 P이고, z=z 고도에서 기압이 P=0이라고 해 보겠습니다. 그러니까 고도 z는 대기가 끝나는 구간이 됩니다. 이렇게 식을 적분하면

입니다. 간단한 적분이죠? 결과는

가 됩니다. 간단하죠?

그런데 해양에서는 부호를 조금 신경써야 합니다. 이유는 간단합니다.

만약 수심을 표층에서부터 잰 깊이로 정의한다면, 대기와는 상황이 다릅니다. 대기는 고도가 증가하는 방향으로 기압이 감소하였습니다. 하지만 해수에서는 수심이 깊어지는 방향으로 수압이 증가합니다. 따라서 -부호가 붙을 이유가 없습니다. 그래서

가 됩니다. 이제 마찬가지로 저 식을 적분하면

가 됩니다. 대기랑은 적분 구간이 반대가 됩니다. 수심 증가 방향으로 수압이 증가하기 때문입니다.
어쨌든 적분하면 대기와 마찬가지로 결과는 같습니다.

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