지구를 비롯한 태양계의 구성별들은 태양 주변을 반시계 방향으로 돌고 있고, 케플러 회전의 형태를 띈다. 뿐만 아니라 태양 역시도 은하주변을 시계방향으로 돌고 있다. 초당 약 220km/s 정도의 믿기 어려운 속도인데, 사실 은하의 스케일을 생각하자면 빠른 속도는 아니며, 간단한 계산을 해 보면 은하가 만들어지고 고작 20바퀴 정도 돈 셈이다.
그런데 천문학자를, 그리고 대한민국의 수 많은 학생들을 골치아프게 하는 문제가 하나 있는데, 은하를 구성하는 별들은 케플러 회전을 하고 있지 않다는 것이 그것이다. 만약 은하의 질량이 중심에 집중되어 있으면, 아무 문제없이 케플러 회전을 하여 은하 중심에서 멀어질수록 속도가 감소하여야 하지만, 실제 은하회전곡선은 그렇지 않다. 아래 그림을 보면 알 수 있듯, 중심에서 거리가 멀어져도 회전속도가 전혀 감소하지 않는다.
원인을 모르는 천문학자들은 그 이유를 암흑물질에서 찾았다. 그러니까 은하 질량이 중심에 몰빵되어 있지 않다는 소리고, 보이지 않는 질량이 은하 주변에 가득차 있다고 생각하였다. 그렇지 않으면 은하회전곡선 그래프를 설명 할 방법이 없다. 이런 암흑물질이 분포하는 영역은 halo라고 하는데, 보이지도 않고 뭔지도 모른다. 하지만 없으면 안되는 뭐 그런....;;;
어쨌든 태양 주변의 별들에 대한 회전속도는 상대적으로 가깝기 때문에 비교적 정확하고 잘 알려져 있는데, 태양 근방에 대해서만 중심에서 거리가 멀어질수록 속도가 감소하고있다. 다시말해 케플러 회전 경향을 띄고 있다.
오늘 이야기하고싶은 주제가 이것이다. 태양 주변의 별들이 과연 케플러 회전을 하고 있는가? 결론을 말하면 아니다. 태양 근방에 대해서 거리에 따라 회전속도가 감소하여 케플러 회전 경향을 따를 뿐이지 케플러 회전을 하고있지 않다.
굉장히 중요한 내용인데, 안타깝게 학생들이 보는 참고서를 보면 "태양 근방의 별에 대해서 케플러회전을 하고 있다." 라고 기술된 책이 더러 있다. 궁금하여 확인해 보니 지금 내 옆에 있는 모 출판사의 지구과학II 참고서에도 그렇게 기술되어있다. 그럼 지금부터 태양과 태양 근방의 별이 케플러 회전을 하지 않는 이유를 장황하게 설명할 예정인데, 여기서부터는 내용이 굉장히 어렵다. 빠르게 스킵해도 좋다. 하지만 스킵하지 말아야 할 곳이 있는데 그곳에는 따로 표시를 해 두었다.
**참고 - 케플러 회전이란?**
케플러 속도(Keplerian velocity)를 따르는 회전으로, 중심에서 멀어질 수록 회전속도가 감소하는 경향을 보인다.
중심천체(태양)와 주변 행성에 의한 만유인력이 행성이 중심 천체를 공전하는 구심력으로 작용하는 상황에서 유도할 수 있다. 즉
$$F=\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$$
$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$
때문에 반지름이 증가할 수록 속도는 감소하게 된다. 만유인력의 법칙에서 유도된 만큼, 작은 질점, 다시말해 중심의 작은 점에 질량이 모두 모여 있는 경우에 적용 가능하다.
아래 내용은 필자가 학교에서 수업시간에 사용하기 위해 만든 PPT이다. 본 내용은 태양 근방에서 차등회전(중심에서 거리가 멀수록 속도가 감소하는 회전)에 대한 연구를 수행한 오르트의 차등은하회전 내용이다. 현대천체물리학, 기본천문학, 천문학 및 천체물리학 서론 등의 대학 서적에 무수히 많이 실려있는 내용으로, 학부생들이 필수로 배운다.
1. 태양을 기준으로 은경 l인 별 A의 시선속도
2. 태양을 기준으로 은경 l인 별 A의 접선속도
3. 태양 근방에 대해서만 함수를 표현할 것이기 때문에 테일러 전개로 함수를 간단하게 표현한다. 다시말해, 태양 근방이라는 국소적인 영역에 대해서만 생각해 본다는 것이다.
(여기서 테일러 전개는 함수가 굉장히 복잡한 형태일 때, 국소적인 영역에 대해서만 생각하고자 할때 사용한다. 이렇게 하여도 국소적인 영역에서는 적용 된다는 것을 증명한 것이다. 은하 회전곡선 역시 복잡한 형태이다. 그러나 우리가 알고 싶은 것은 태양 근방의 별에 대한 것만 알고 싶기 때문에, 은하회전곡선 전체의 함수를 구하고자 하는것이 아니고(구하지도 못할 뿐더러), 태양 근방만 알기위해 테일러 전개로 근사하는 것이다. 테일러 급수의 특성상, 해당 영역에서 멀어질 수록 함수는 오류가 발생하고 큰 오차가 생긴다. 은하 회전의 경우에도 마찬가지로 태양에서 멀어질 수록 오차가 심해질 수 밖에 없다.)
4. 테일러 전개를 통한 오르트상수 A의 결정
여기서 굉장히 중요한 내용이 나온다. 바로 A로 정의한 오르트 상수이다. dw/dR로 표현된 회전반경 변화에 따른 각속도 변화율이 바로 오르트 상수 A인데, A의 값은 물리적으로 유도되는것이 아니다. 관측을 통해서만 알 수 있는 값이다. 관측 결과 A값이 거의 15km/s/kpc 정도가 된다는 것이다. 그러니까 이게 무슨말이냐면, 관측해 보니까 태양 근방의 별들이 반지름 증가에 따라 각속도 변화는 (2/R)*15km/s/kpc 이었단 소리다. 이제 두 번째 오르트상수 B를 유도할 차례이다.
5. 오르트 상수 A를 이용한 태양 근방 별에 대한 시선속도 표현
6. 오르트 상수 B의 정의와 태양 근방의 별에 대한 접선속도 표현
여기서 두 번째 중요한 내용이 나온다. 바로 오르트 상수 B이다. 오르트 상수 B의 정의는 A에서 태양의 회전각속도를 뺀 값이다. 오르트 상수 A가 관측을 통해 얻어지는 값이고, 태양의 각속도 역시 관측을 통해 얻어지는 값이기 때문에, B 역시 관측을 통해 얻어지는 값이다. 여기서 B는 약 -12km/s/kpc이다.
다시한번 강조하지만 A와 B는 관측을 통해 결정된 값이다. 하지만, 케플러 회전을 한다라는 가정을 깔고 A와 B를 계산해 볼 수는 있다. 만약 태양 근방에서 케플러 회전을 한다고 할 때 계산 결과는 관측값과 일치해야 한다. 케플러 회전을 가정한 A와 B는 아래와 같다.
A=19km/s/kpc , B=-6.5km/s/kpc
앞에서 관측을 통해 결정된 오르트 상수와 케플러 회전을 가정하여 계산된 오르트 상수를 표로 비교해 보겠다.
| 오르트 상수 A(km/s/kpc) | 오르트 상수 B(km/s/kpc) | |
| 관측 값 | 15 | -12 |
| 케플러 회전인 경우 | 19 | -6.5 |
비교하면 알 수 있듯, 심하게 다르다. 다시 말해 태양을 비롯한 태양 근방의 별 조차도 케플러 회전을 하지 않는다는 소리다. 단지 중심에서 멀어질 수록 회전속도가 감소하는 경향만 나타나 케플러 회전의 경향을 따를 뿐이다. 케플러 회전을 하지 않기 때문에, 차등 은하회전과 관련된 모의고사나 수능 문제를 보면 태양 근방의 별은 케플러 회전을 한다고 가정한다 라는 단서조항을 달아 놓는 것이다. 케플러 회전으로 근사하고 문제를 풀어야 쉽게 풀 수 있기 때문이다.
마지막으로 오르트 상수로 표현된 태양 근방의 별에 대한 시선속도와 접선속도 관계를 보면 시선속도는
으로 간단한 이중 사인곡선형태를 띄어야 하고, 접선속도는
으로, 간단한 이중 코사인 형태로 나타나야한다고 예측할 수 있다. 관측 결과는 예측값고 유사하게 나타났다. 잘 fitting 되었다는 소리다.
단, 계속 강조하지만 태양 근방의 별에 대해서만 성립한다는 것이다. 멀어지기 시작할 수록, 매끄러운 사인이나 코사인 곡선에서 벗어나기 시작한다.
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