지구 내부 탐사의 원리 - 중력 이상

<부우게 이상(출처 : ESA)>

중력이상은 지진파, 지자기 등과 함께 물리적으로 지구 내부를 탐사하는 여러가지 방법 중 하나입니다. 지구과학2 교육과정에서는 지진파 탐사, 지자기 탐사와 함께 중력이상을 이용한 탐사방법도 소개하고 있습니다. 이번 포스팅에서는 중력 이상에 대한 내용을 좀 다루어 보고자 합니다.

  1. 중력이란??

일반적으로 생각하는 중력이라는 것은 지표면의 물체와 지구사이의 만유인력으로 설명합니다. 보통은 이렇게 써도 전혀 문제가 되지 않습니다. 하지만, 중력을 이용한 지구 내부 탐사에서는 아주 미세한 크기로 변화하는 중력을 잡아내야하기 때문에, 보통 무시해 버리는 지구 원심력까지 고려해야 합니다. 그래서 결국 중력이라는 것은, 만유인력과 원심력의 합력으로 정의합니다.

<중력(출처 : 비상교과서 지구과학II)>

그런데 위도에 따라 지구 반지름과 지구 회전반지름이 다릅니다. 고위도로 갈 수록 지구 반지름이 감소하여 만유인력은 증가하고, 원심력은 감소하는데, 이로인해 만유인력과 원심력의 합으로 정의되는 중력 역시 크기가 달라집니다.

위 그림은 이번 포스팅을 위해 파이썬으로 열심히 그린 위도별 만유인력(universal gravitation)과 원심력(centrifugal force)의 변화를 나타낸 것입니다. 이런 변화경향 덕분에 적도에서는 만유인력 최소, 원심력 최대, 극에서는 만유인력 최대, 원심력 최소가 되어 적도에서 표준중력이 가장 작고, 극에서 가장 큽니다.

위 그래프 역시 파이썬에서 표준중력 계산식을 활용하여 그린 그래프입니다.

** 파이썬으로 그래프를 그리는 방법

파이썬을 이용하여 위도별 만유인력, 원심력, 표준중력 변화 그래프 그리기

  2. 표준 중력

중력이상이라는 것은 중력을 측정한 지점에서 관측한 실제 중력과, 해당지역의 위도에서 계산된 표준중력의 차이를 말합니다. 그래서 우선 표준 중력의 정의를 먼저 다루어 보고자 합니다.

표준중력이란 

• 수평 방항으로 지구 내부 물질이 완전히 균질하다는 가정하에
• 해수면 고도(지오이드면)에서 계산되는 중력

을 말합니다. 조건이 저렇다보니 이론상 계산되는 중력일 뿐입니다. 표준중력을 계산하는 식은 국제적인 규약으로 결정되어 있다고 합니다. 어찌되었든 중요한건

• 지구는 타원체이고
• 지구가 타원체이다 보니 고위도로 갈 수록 지구 반지름과 원심력이 감소합니다.
• 때문에 고위도로 갈 수록 표준중력이 증가합니다. 

표준중력을 계산하는 계산식은 

입니다. 외울 필요는 1도 없습니다. 지구물리학 전공서적을 참고하였구요, 식도 책마다 조금씩 다른거 같아요. 어찌됬든 여기서 중요한건, 계산식에도 표현되어 있듯, 표준 중력이 위도별 함수라는 것입니다. 이는 위도에 따라 지구 반지름과 회전 반지름이 달라져 중력의 크기가 달라지는것을 반영하기 위한 것이라고 생각하면 됩니다. 보통은 위도가 증가함에 따라 만유인력이 증가하고 원심력이 감소하면서 표준중력이 증가합니다. 이렇게 위도값을 표준중력 계산식에 적용함으로써, 위도에 따라 달라지는 표준중력의 효과가 자동적으로 보정이 됩니다.

 

위도별 표준중력은 아래 표를 참고하세요.

위도	g(cm/s2)
90°	983.2
60°	981.9
40°	980.2
30°	979.3
0°	978.0

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  3. 중력의 크기에 영향을 주는 요소

앞서 살펴본 표준중력이라는 것은 수평방향으로 지하 내부 밀도가 완전히 균질하다는 가정을 하고, 해발고도에서 측정한 중력입니다. 그런데 실제 관측점은 해발고도도 아니고, 지하 내부도 수평방향으로 완전히 균질하지도 않습니다.

 

따라서 너무나 당연하게 관측지점과 관측지점의 위도에서의 표준중력에 차이가 발생합니다. 이 차이를 중력이상이라고 합니다. 교과서에서 중력이상은 아래와 같이 정의합니다.

중력이상 = 실측중력 - 표준중력(이론상 중력)

교과서에서 따로 설명하고 있지는 않지만, 실측 중력은 사실 여러가지 보정을 한 값입니다. 대표적인것이 고도보정(Free Air correction)과 질량보정(Bouguer correction), 그리고 지형효과에 대한 보정 입니다. 지형 효과는 우선 내버려 두고, 고도보정과 질량보정 이야기를 먼저 해 보겠습니다.

수업시간에 쓰려고 만든 위 그림을 한번 보겠습니다. sta.1은 표준중력과 중력이 동일하게 나타나는 곳, sta.1은 sta.2보다 h만긐 고도가 높은 곳, sta.3은 표준중력과 고도는 같지만, 내부에 밀도가 큰 무엇인가가 있는 곳입니다.

 

sta 1과 sta3은 고도가 같기 때문에, 직접적으로 중력 비교를 바로 할 수 있습니다. 아마도 sta3에서 측정한 중력이 sta1에서 측정한 중력보다 클 겁니다. 지하에 밀도가 더 큰 무언가가 있기 때문입니다.

 

하지만 sta 2는 sta1과 직접 비교가 불가능합니다. h만큼 고도가 더 높으며, 산에 의한 추가 질량이 있기 때문입니다. sta 2에서 측정한 중력은 h만큼 높아진 고도와 추가 질량의 영향을 받습니다. h만큼 고도가 높아지면서 만유인력에서 지구 반지름이 h+R이 되어 버려 중력이 감소하는 효과가 나타납니다. 또한  산이 가지고 있는 추가 질량 역시 sta 2에서 측정되는 중력에 영향을 줍니다. 아마도 산의 높이만큼이나 질량이 증가하니 중력이 증가하는 효과가 나타날 것입니다. 따라서 이 두가지를 제거해야만 sta 1과 조건이 동일해 지고, 중력을 비교할 수 있습니다.

 

즉, sta2에서 측정한 중력을 다른 곳과 비교하기 위해서는, 1) 고도효과를 보정해야하고, 2) 질량효과를 보정해야 합니다. 1) 고도에 대한 보정이 고도보정(Free-air correction)이고, 2) 추가 질량에 대한 보정이 질량보정(Bouguer correction) 입니다.

  4. 고도 보정(Free-air correction)

고도가 높아진 경우, 반지름 증가효과로 인해 중력은 감소합니다. 감소한 만큼을 다시 보상해 주어야 합니다. 측정한 중력을 g라고 하고, 높아진 고도에 의해 감소한 중력 값을 FAC라고 하면

로 간단히 표현할 수 있습니다. 여기서 줄어든 중력 FAC는 어떻게 계산하냐면

여기서 h가 관측지점의 고도입니다. 그러니까 관측지의 고도에 0.308mGal을 곱해주는 것입니다. 여기서 mGal은 중력 가속도의 단위입니다.

 

이렇게 고도 보정을 완료한 뒤 해당 위도의 표준 중력과 비교한 값을 프리에어 이상(Free-air anomaly)라고 하는데, 간단하게 관측값 - 이론값 이라고 생각하면 됩니다. 그럼

형태로 간단히 나타낼 수 있습니다.

 

하지만 아직 관측지점까지 고도와 해발고도 사이에 깔려있는 추가질량에 의한 중력 증가 효과를 제거하지 않았습니다.

  5. 질량 보정(Bouguer correction)

해발고도에서부터 관측지점 까지의 추가질량에 의한 중력 증가효과를 제거해 주어야 최종적인 보정이 끝납니다. 이는 

로 계산할 수 있습니다. 델타gfa는 프리에어 보정을 마친 값이고, BC가 보정해야할 초과질량 계산값입니다. BC는

인데, 여기서 로는 밀도로, 평균적으로 화강암의 밀도를 사용한다고 합니다. 

질량 보정은 두 가지 경우로 나누어 시행해야 합니다.

해발고도보다 고도가 높은 일반적인 상황에서는 초과질량을 제거해 주어야 합니다. 그래서 그냥 맨 처음 식에 화강암의 밀도 2.67을 집어 넣어서 아래와 같이 계산하면 됩니다.

그러니까 0.112에 해발고도를 곱한 값을 빼면 됩니다.

 

그런데 바다의 경우는 좀 생각을 달리해야 합니다. 바다는 화강암에 비해 밀도가 작습니다. 때문에 표준중력을 계산하는 환경과 비교해 밀도가 더 작고, 이는 중력이 작게 측정되는 효과를 가져옵니다. 따라서 바다를 콘트리트로 채웠다 생각하고, 감소한 밀도를 늘려줘야 합니다. 따라서

지형이 복잡한 경우 지형 보정까지 해 줘야 하나 여기서 지형 보정은 따로 언급하지 않겠습니다.

 

아무튼 부우게 보정까지 완료하면 이제 표준중력과 비교할 수 있게 됩니다. 표준 중력과 비교하였을 때 차이점을 부우게 이상(Bouguer anomaly)라고 하고, 이것이 실제 학생들이 배우는 중력이상이 됩니다. 이렇게 하면 이제 직접적으로 지하 내부에 무거운게 있는지 가벼운게 있는지 알 수 있게 됩니다.

 

실제 연구데이터를 보겠습니다.

어떤 논문에서 발췌한 그림인데, 위에 측정 값은 부우게 중력이상값입니다. 계속 +값을 유지하고 있다, 중간 쯤에서 음수로 떨어집니다. 지하 내부에 무언가 가벼운 물질이 있다는 소리입니다. 그래프 아래의 그림은 측정 결과를 바탕으로 모델링한 지하 내부의 밀도 상황입니다. 

 

결국 지하 내부에 어떤 물질이 있느냐에 따라 지표면에서 중력 값이 달라집니다. 중력값이 달라진다는 거는, 위치에너지값이 미세하게 달라짐을 의미합니다. 이를 이용해 지오이드라는 것을 정의합니다. 지오이드면은 중력위치에너지(중력퍼텐셜)이 같은 지점을 선으로 이은 곳을 말합니다. 지하 내부 물질이 불균질하니 지오이드 면은 울퉁불퉁한 모양을 가질 수 밖에 없습니다.